【银河金工马普凡】转债蒙特卡洛定价的改进及应用:测度变换与张量计算

（以下内容从中国银河《【银河金工马普凡】转债蒙特卡洛定价的改进及应用:测度变换与张量计算》研报附件原文摘录）
　　【报告导读】 1. 可转债定价依赖于正股股价走势，可采用蒙特卡洛模拟对转债进行定价 2. 重要性抽样、最小二乘蒙特卡洛与Tensor数据结构等改进蒙特卡洛模型 3. 蒙特卡洛定价模型参数分析 4. 定价方法在转债组合构建中应用广泛，定价误差可改进“双低”转债策略获取超额收益 核心观点 可转债定价依赖于正股股价走势，可采用蒙特卡洛模拟对转债进行定价：可转债同时具有债性和股性的特征，转债的价值依赖于未来完整的股价路径，即内嵌路径依赖型期权。我们对正股价格与转债条款的假设如下：1）正股价格的对数过程服从几何布朗运动；2）正股价格在到期收益率测度下服从鞅过程；3）转债仅可能下修或赎回，不考虑回售条款；4）在转股期内若提前转股更有利，则立刻转股。蒙特卡洛模拟能够根据指定的随机过程，模拟正股在未来一段时间内的完整价格走势、条款触发情况与执行情况，解决路径依赖问题。 重要性抽样、最小二乘蒙特卡洛与Tensor数据结构等改进蒙特卡洛模型：原有蒙特卡洛模拟具有模拟效率较低、无法识别期权最优停时点、未考虑赎回/下修最新公告等问题，我们对蒙特卡洛模型进行了以下改进：1）采用重要性抽样法将真实测度变换至到期收益率测度，同时可实现提高模拟效率、降低定价误差的效果；2）采用最小二乘蒙特卡洛模拟估计转债的存续价值，确定投资者的最佳转股时点；3）采用Tensor数据结构，支持GPU计算与自动求导，提高代码运行效率；4）将赎回/下修最新公告处理为是否处于赎回/下修限制期、限制期时长等新参数，加入到原有蒙特卡洛模型中。 蒙特卡洛定价模型参数分析：蒙特卡洛模型中大部分参数可从市场或转债募集说明书/公告中获取，但正股收益率、正股波动率、下修概率与赎回概率4个参数无法直接获取，需要进行合理估计。根据测算结果，我们选择最近6月年化收益率的21天滚动均值、最近6月年化波动率作为正股收益率与波动率的取值，赎回/下修概率则依据正股价格/转股价格的比值，在0-0.3之间分段取值；另外，为兼顾定价准确与计算效率，我们在定价时取模拟次数为2500次。同时，我们在时间序列和截面上均对模型定价的准确性进行了验证，定价结果表明平均定价误差在合理范围内，改进后的蒙特卡洛模型定价准确性较高。 定价方法在转债组合构建中应用广泛，定价误差可改进“双低”转债策略获取超额收益：截至5月24日，转债市场现存余额7908.88亿元，共计535只转债；近期转债市场与A股市场同步回暖，转债成交金额和平均换手均呈现上升趋势，为构建转债配置策略提供了市场基础。蒙特卡洛定价方法在转债组合构建中具有广泛应用，以双低策略为例，定价误差反映了市场预期收益与历史收益的分歧，依据定价误差可找到市场给予乐观预期的转债构建配置策略，从2023年6月30日至2024年4月30日，等权加权策略相对基准中证转债指数实现超额年化收益11.93%，波动率倒数加权策略实现超额年化收益7.94%，最大回撤均有所收窄，表明策略可获得稳健的超额收益。 风险提示：报告结论基于历史价格信息和统计规律，但二级市场受各种即时性政策影响易出现统计规律之外的走势，所以报告结论有可能无法正确预测市场发展，报告阅读者需审慎参考报告结论。证券历史收益不代表未来业绩表现，文中观点仅供参考，不构成投资建议。 正文 一、转债蒙特卡洛定价模型梳理与完善 （一）转债定价基本假设 在使用蒙特卡洛模拟法对转债进行定价前，我们首先需要对转债及对应正股的特征进行定义，本报告对于正股价格与转债条款的基本假设如下： （1）正股价格的对数过程服从几何布朗运动（Geometric Brownian motion，GBM）。 股票价格服从几何布朗运动是随机过程中常用的基本假设，因为一方面经验事实证明股价的连续复利收益率近似服从正态分布，另一方面几何布朗运动是一个马尔科夫过程，即当前股价包含了已知的全部信息，这与弱有效市场假说相符。用数学公式可表示为： 根据伊藤引理进行推导，最终可得股票价格的解析式为 （2） 正股价格在到期收益率测度下服从鞅过程。 资产定价的本质是对未来现金流贴现计算现值的期望。但真实世界中，在对衍生品定价时，由于标的资产价格收益率μ与适合的贴现率r均难以进行准确估计，我们引入了测度变换（Change of Measure）的概念。测度变换可理解为一个变换概率分布的过程，是一种用于简化衍生品定价的数学工具，本身并不具有经济学含义。假定真实世界中的概率分布为真实测度，记作P测度；变换后的目标概率测度为Q测度，如果P测度和Q测度满足二者对不可能事件的概率都为0、对必然事件的概率都为1，对其他事件集合可能赋予不同的概率密度，那么二者可称为等价测度。在衍生品定价中，等价测度意味着资产价格路径是一致的，但发生的概率不同。这样，只要将Q测度下衍生品期望价格变换回P测度中，我们就可以完成对真实世界中衍生品的定价。 鞅过程（Martingale）是随机过程的一种特殊形式，指根据当前已知信息对某个资产未来价格的期望值就是资产的当前价格。鞅过程在金融建模中被广泛应用，这来源于有效市场的假设：如果市场有效，未来资产价格的期望等于当前价格，那么任何一种资产平均而言都无法获得超额收益。如果我们可以找到一个和P测度等价的Q测度，使得资产价格序列在Q测度下是一个鞅过程，这样的Q测度就称为等价鞅测度。在无套利的假设下，等价鞅测度（Q测度）与真实测度（P测度）的定价具有统一性。 至此可见，对可转债的定价关键在于找到一个合适的等价鞅测度Q。实际上，我们可以证明如果正股股价序列记作St，那么存在一个等价鞅测度Q使得股价的贴现过程St*=St×exp(-rT)是一个鞅，其中是r贴现率。而贴现因子exp(-rT)也可视为一种计价单位。若计价单位为货币市场账户、收益率为无风险利率rf，则变换后的Q测度称为风险中性测度，这是衍生品定价中最常用的测度。 测度变换有效的来源是风险的可对冲性。以欧式股票看涨期权为例，假设我们在卖出一单位看涨期权C的同时买入Delta单位标的股票S，则股价S变动的风险就实现了完全对冲，组合的期望收益仅来源于卖出期权得到的现金流C产生的收益，即对应无风险利率。 但对于可转债而言，风险中性测度并不适用。即使可转债转股的风险可以被完全对冲，转债的票息等现金流仍然存在信用风险；而且票息等现金流也会对转债价值产生影响，即使当前股价高于转股价，投资者也需要评估立刻转股的收益与继续持有转债获取票息的收益以决定是否行权。因此，风险中性测度并不适合转债定价，我们应当使用转债的到期收益率进行贴现以反映转债现金流的信用风险。为便于表达，后文中我们统一将贴现率为转债到期收益率的测度称为到期收益率测度。 （3） 转债仅可能发生赎回或下修，不考虑回售条款。 在正股表现不佳时，股价首先触发下修条款，企业为防止回售，可能会选择下修转股价，尤其在回售期临近的时期。若发生回售，则发行方转债融资失败，这与大多数上市公司的目的相悖。假定在触发下修/赎回条款后，发行方需要一定时间选择是否执行下修/赎回，因为在触发条款后往往会经过董事会提议/审议，股东大会审议与保荐公司核查等程序。此外，我们还假定上市公司在决定不下修/不赎回后，转债会进入“限制”状态：在一段时间内，若再触发条款则仍不下修/不赎回，且触发条件从非限制期开始计算。 （4） 投资者是理性的，在转股期内如果提前转股更有利，则立刻转股。 在任何可以进行转股的时间点，如果转债的内在价值（立刻转股的价值）大于转债存续价值（继续持有转债的价值）的期望，则投资者会立刻转股。 （二）蒙特卡洛模拟适用于可转债定价 基于前文的基本假设，在为可转债定价时，需要考虑：1）投资者在持有转债期间可能享有的票息与面值；2）进入转股期后，投资者相当于享有以正股为标的物的美式看涨期权；3）转债发行方享有转股价格的修正权与转债赎回权。其中，可转债条款的触发情况直接与未来的股价路径相关，这将改变未来的现金流，进而影响转债的定价。具体而言： - 如果正股未来的股价在某段时间内维持高位，可能触发赎回条款。若此时上市公司选择赎回转债，那么投资者在转债赎回后将无法获得票息；若上市公司不赎回，那么在未来一段时间内定价时不再考虑赎回条款。 - 如果正股未来的股价在某短时间内处于低位，可能触发下修条款。若此时上市公司选择下修转股价，将有利于投资者尽快执行转股，获得转股价值；若上市公司不下修，那么在未来一段时间内定价时不再考虑下修条款。 因此，转债的价值依赖于未来完整的股价路径，即内嵌路径依赖型期权。蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）能够根据指定的随机过程，模拟正股在未来一段时间内的完整价格走势、条款触发情况与执行情况，解决路径依赖问题。蒙特卡洛模拟本身并不复杂，容易实现。此外，蒙特卡洛模拟还具有较强的扩展性，可根据不同的市场情景，添加新的变量或改变变量的设定，不必对原有程序做大幅修改。 在前期报告《转债新规下的定价模型更新和绝对收益策略改进》中，我们将条款新规写入定价模型，使模拟触发条款和执行条款的过程更符合市场真实情况，但该报告的定价程序存在以下问题： （1）在原有蒙特卡洛模拟中，用于判断赎回/下修的股价序列是在风险中性测度下生成的，但该股价序列与真实测度中的股价序列存在差别，可能使赎回/下修触发时点判断的准确度降低；另外，转债的票息等现金流存在信用风险，其贴现率应当包含信用利差，而非采用无风险利率进行贴现，如前文所述，应当采用到期收益率测度进行转债定价。 （2）原有蒙特卡洛模拟效率较低。我们通过求未来各模拟路径中现金流贴现值的算术平均来计算转债的理论价格，但平均值（一阶矩）的模拟误差相对较高，如果仅依赖增加模拟次数降低定价误差会严重降低运行速度、同时存在内存不足的风险，而且定价精度提升效果与所付出的成本不成正比。 （3）单纯的蒙特卡洛模拟无法识别期权最优停时点。蒙特卡洛模拟不能计算继续持有转债的预期价值，因而无法比较转债的内在价值与继续持有的价值，即难以解决持有者在转股期可能提前转股的问题。 （4）一部分转债可能近期已触发赎回/下修且发布了不进行赎回/下修的公告，当前正处于限制期内，此前的模型没有考虑到这一情况。 （5）定价程序采用的数据结构是ndarray数组，不支持自助求导功能，导致计算Delta、Gamma等指标时方法繁琐、结果偏差较大。 （三）转债蒙特卡洛定价模型的改进：重要性抽样 在蒙特卡洛模拟中，重要性抽样（Importance Sampling, IS）是一种通过变换测度缩小估计值方差的技术。一方面，变换测度的手段可解决风险中性测度不适用于转债定价的问题；另一方面，重要性抽样能够有效提高采样效率，无需大量增加模拟次数即可提高模拟结果的精度。重要性抽样是在新测度P中完成抽样，再将抽样结果乘似然比（Likelihood Ratio）转换到原测度Q中： 其中似然比可被视作权重，调整不同样本发生的概率。在重要性抽样技术中，引入新概率密度的过程即为测度变换的过程，理论上最优的新概率密度应使得抽样方差最小。在转债定价中，测度变换是我们采用重要性抽样的首要目的，但同时重要性抽样也能达到缩小方差、提高估计精度的效果，因此采用重要性抽样技术可谓是一石二鸟。 就技术细节而言，真实测度即为用于取样的测度P，而到期收益率测度为原测度Q。在生成股价序列时，我们首先在真实测度下生成正股的对数收益率，依此可计算出真实测度下的股价走势，用于判断是否触发赎回/下修；同时在到期收益率测度下， 从0时刻开始计算，将股价序列从真实测度转换至到期收益率测度的似然比应为每一步似然比的累乘，即 这样实际上我们获得了两条股价序列：真实测度下的股价序列用于判断触发赎回/下修的时点；到期收益率测度下的股价序列用于计算转债的内在价值，并用到期收益率贴现得到当前的价值。在对转债定价时，期权价值max(S-K,0)是关于股价S的函数，本质上也是关于股票对数收益率的函数，因此我们无需真正计算出到期收益率测度下的股价序列，仅对期权价值max(S-K,0)乘以似然比即可。在代码中，为便于求导，我们将max(S-K,0)替换为ReLU函数的平滑形式Softplus函数，则期权价值为 重要性抽样可同时实现缩小估计值标准差、降低定价误差的效果。我们取转债A在2024年3月1日至3月20日共14个交易日的数据，分别用不使用重要性抽样的原定价模型和新模型对该转债进行定价，每次定价时进行5000次蒙特卡洛模拟。从图1中可以看出，在使用重要性抽样后，估计值标准差出现显著降低，这表明重要性抽样可以实现缩减方差、提高模拟效率的效果；同时，从图2可以看出，不使用重要性抽样时，模型价格相对于市场价格的平均定价误差为7.56%，而使用重要性抽样后平均定价误差下降至2.55%，因此采用重要性抽样法也能使得模型定价更准确。 * 注：模拟价格为某一路径对应的期初转债价值，模型价格为5000次模拟价格的均值（即定价模型输出的定价结果）； 估计值标准差=5000个模拟价格的标准差，数值越小表示模拟结果越集中、模拟效率越高； 定价误差=（模型价格-市场价格）/市场价格×100%，数值越接近0表示定价越准确；下同。 (四)转债蒙特卡洛定价模型的改进：最小二乘蒙特卡洛模拟 转债定价面临的另一问题是进入转股期后投资者随时可转股，即具有美式看涨期权的特征。为解决这一问题，我们采用最小二乘蒙特卡洛模拟法（Least Squares Monte Carlo Simulation, LSM）。最小二乘蒙特卡洛模拟由Longstaff & Schwartz(2001)提出，可用于美式期权定价。LSM能够同时契合转债路径依赖与转股期随时行权的两大特性，确定转债持有者的最佳转股时点，解决期权的最优停时问题。 LSM方法的基本思路是基于蒙特卡洛模拟的价格路径，对每一期的正股股价和转债的内在价值（Intrinsic Value）做最小二乘估计（OLS回归），得到基于正股股价继续持有转债的条件期望价值，即为转债的存续价值（Continuation Value）。比较存续价值和内在价值的大小，若存续价值更高则不转股，若内在价值更高则应立即行权转股。在转债到期日，如果期权处于实值状态，则执行转股；反之不执行。 在实际操作中，我们首先按照正常的蒙特卡洛模拟生成若干条标的资产的价格路径，其次从转债到期/赎回时点开始反向回溯，每一步用OLS回归法计算每条路径当前的存续价值，并且与立即行权的内在价值进行比较，从而决定当前路径该时间点的期权价值。该方法的内涵是在同一时点上，转债价值主要受正股股价影响，即转债价值是正股股价的函数，因此我们可以构建基函数的线性组合以逼近复杂函数。拟合的线性回归方程可表示为： 将存续价值与内在价值进行比较，取孰高值作为转债价值。重复上述过程直至回溯至0时刻，即可得到该路径的转债价格。 （五）转债蒙特卡洛定价模型的改进：Tensor数据结构 相比前期报告《转债新规下的定价模型更新和绝对收益策略改进》，变量的数据结构改用Tensor（张量），支持GPU计算与自动求导，提高了运行效率，便于研究各模型参数对定价的影响。作为PyTorch中的基本数据类型，Tensor是存储单一数据类型元素的高维矩阵，具有以下优势： 数据存储方面。Tensor本质上是一个多维数组，可以存储多种数据类型以表示复杂的数据结构。Tensor的大小是动态的，可以在运行时改变其大小。 提高程序性能方面。Tensor存储注重内存效率，通过诸如内存重用、重叠内存分配等技术减少内存占用。此外，Tensor运算支持并行执行，可以利用多核CPU和GUP加速计算，提高大规模数据处理与模型训练的效率。 运算方面。Tensor支持丰富的操作，包括元素级操作和整体操作。一方面，Tensor支持广播机制（Broadcasting），通过张量的自动扩展，允许在不同大小的Tensor之间进行算术运算。另一方面，Tensor支持自动微分（Autograd）。根据PyTorch的官方技术文档，Autograd是一个反向自动微分系统，其中记录了在执行操作时创建数据的所有操作。Autograd提供了一个有向无环图，其叶节点是输入张量，根节点是输出张量。通过从根节点追溯到叶节点，程序可以通过链式法则自动计算出梯度。 （六）转债定价模型参数释义 在完成了模拟方法与模型参数的一系列改进后，当前转债定价模型参数如表1所示。 （七）正股价格路径模拟与转债定价流程 基于前文所述假设与模型改进方法，当前转债定价模型的计算流程如图4所示。 该转债定价模型将可转债内在价值分为债券价值和期权价值两部分，其中债券价值可直接对转债的票息与面值贴现计算获得；而期权价值则需要采用蒙特卡洛模拟的方法，先模拟正股价格，循环判断每个交易日是否触发条款并模拟执行情况，再计算转股期权的价值。在获得每日可转债的内在价值后，再采用蒙特卡洛最小二乘法计算出当日的存续价值，二者取孰高值为转债的价值，即可转债价格的估计结果。具体而言，定价的过程可表述为： （1）模拟每日股价序列与付息情况：根据几何布朗运动，模拟截至转债到期日正股股价时间序列，同时计算出每日重要性抽样的似然比；此时正股未来是否触发了下修或赎回的价格条件可同时获得。获取转债目前的付息情况，以252个交易日为间隔，模拟未来的付息时间序列。 （2）在转债存续期内，判断是否触发赎回/下修条款：本模型设定赎回与下修触发需每日进行判断，其中赎回触发在转债进入转股期后才开始进行判断；下修触发则没有进入转股期的要求，在转债存续期内每日进行判断。在判断是否触发赎回/下修条款时应同时满足两点：1）转债不能处于赎回/下修限制期内，该限制既可被模拟，也可来自实际状态（模拟前添加），互不冲突；2）正股价格在过去一段时间内满足触发赎回/下修条款的价格条件，例如正股价格在过去30个交易日内有15日低于转债价格×下修触发比例，则触发下修条款。 （3）若已触发赎回/下修条款，模拟是否执行：根据预设概率生成随机数，判断是否执行赎回/下修。如果执行赎回，则转债提前到期，执行赎回日转债价值等于转债前一日的内在价值，执行赎回后转债价值为0。如果执行下修，则模拟调整转股价时间序列。假设模拟在第个交易日调整转股价，新转股价则为前一交易日（）正股模拟价与第日至第日共20个交易日正股模拟价均值的较高者。若不执行下修/赎回，自动进入限制状态。 （4）往前倒推计算转债的内在价值与存续价值，以多条路径转债价值的平均值为转债价格：类比美式期权的定价方法，转债定价需从最后一期往前倒推。在转债没有执行赎回时，转债的内在价值等于纯债价值与转股期权价值之和；同时，以当期正股股价的切比雪夫多项式为自变量、以后一期转债价值贴现值为因变量做OLS回归，计算继续持有的期望价值，即为转债的存续价值。若内在价值更高，则立即行权转股；若存续价值更高，则继续持有。如此倒推至待定价日的次日，贴现至定价日并取平均值，即为当前时点转债的价格。 二、转债蒙特卡洛定价模型参数分析 （一）定价模型参数取值方法 在对可转债进行定价时，转股价、到期日、派息条款、下修与赎回条款等信息已在转债募集说明书及后续公告中有明确规定，而正股价格可直接从权益市场中获得，因此定价模型中的大部分参数都可获得一个明确的取值。在表2中我们列出了所有参数取值的来源。 值得注意的是，正股收益率、正股波动率、下修概率与赎回概率这4个参数无法从转债公告中获取，需要我们给出一个合理的估计值，下文中我们将依次讨论这4个参数合理的取值方法；此外，蒙特卡洛模拟的次数也直接关系到估计值的准确性与定价效率的高低，因此我们也对合理的模拟次数进行了探讨。 （1）下修概率与赎回概率 下修或赎回是否被执行会受到包括正股当前股价的高低、可转债已转股的比例、公司财务状况等诸多因素影响，但本质上取决于公司管理层的决策。与正股的风险收益特征相比，下修与赎回概率一般而言相对稳定，因此我们首先探讨两个概率的合理取值。 统计自2019年1月至2024年3月全市场所有转债赎回/下修的触发与执行情况，如表3所示。在1378次下修触发事件中，有169次真正执行了向下修正，触发下修后执行的频率为0.1226；在679次赎回触发事件中，有95次真正执行了提前赎回，触发赎回后执行的频率为0.1399。考虑到近年来转债新规的发布对转债赎回和下修做了更为明确的规定，发行人执行赎回/下修的次数也有所提升，赎回和下修的概率应当比历史数据的频率统计略高，因此两个参数统一设置为0.15。 （2）正股收益率与正股波动率 估计股票收益率与波动率最常用的方法是采用最近一段时间的历史数据进行估计，那么选用多长时间的历史数据就成为讨论的重点。本报告中我们取最近3月、最近6月、最近1年与最近2年正股的日频涨跌幅计算正股的年化收益率与年化波动率，代入转债定价模型中观测定价误差的大小。另外，由于年化收益率本身波动幅度较大，当时间区间较短时其波动更为明显，为了平滑结果、避免由于年化收益率本身波动过高而导致定价误差较大，我们对年化收益率取过去21日的移动平均值；而年化波动率本身波动幅度较小，不做移动平均处理。 为检验不同时间长度的历史数据的效果，我们从市场中选取正股股价S与转股价格K的比值分别在0.5、1、1.5左右的转债A、B、C，分别代表处于虚值、平值与实值三种不同状态的转债，在区间2023年1月3日至2024年3月22日期间每日进行定价，并计算定价误差及其绝对值。定价时，所有转债的赎回概率和下修概率均设置为0.15；为保证数据一致性，在输入收益率与波动率数值时，二者应当取相同的时间长度，例如最近3月年化收益率与最近3月年化波动率，模拟次数为2500次。 从表4中结果可以看出，对于转债A而言，4种时间长度的定价误差相差不大，平均定价误差均在2%以下，误差绝对值的平均最高也仅为2.54%。但对于转债B和C而言，采用最近6月历史数据都是最合适的，平均定价误差相对较低，而且误差绝对值的平均都是最低的。综合以上结果，我们认为最近6月年化收益率与波动率是比较合理的取值方法，这是因为转债的价格反映了投资者预期，在较短的时间区间内估计收益率与波动率更符合市场对正股走势的估计；但计算收益率与波动率的时间区间也不应过短，一方面时间过短、数据量小会使得估计结果波动过大，容易产生异常值，另一方面短期内股票预期收益率的反转效应可能更明显。在后文中，我们将采用最近6月年化收益率与年化波动率、赎回概率和下修概率为0.15的参数设置对可转债进行定价。为便于表达，后文中最近6月年化收益率均指21日滚动平均结果。 下图展示了转债A、B、C采用最近6月年化收益率与波动率时的定价结果与相对于市场价格的误差。总体来看，模型价格与市场价格的走势一致，定价误差大部分在±5%以内，表明蒙特卡洛模型的定价结果具有参考价值。 （3）模拟次数 在选择合适的模拟次数时，需要兼顾估计值的准确性与定价效率。以转债C在2024年3月22日的市场数据对蒙特卡洛模拟次数进行测试，正股收益率和正股波动率分别设置为最近6月年化收益率和年化波动率，赎回/下修概率设置为0.15，模拟蒙特卡洛次数为100、500、1000、1500、2000、2500、3000、3500、4000、4500和5000，计算不同模拟次数下转债价格的估计值标准差。从模拟次数100到500，模型定价的标准差骤降，当模拟次数大于500时，模型定价的标准差缓慢下降，表明增加模拟次数可以提高定价准确性。在模拟次数为2500处平均标准差最低，且继续增加模拟次数，标准差变化不大，故本报告取蒙特卡洛模型定价次数为2500次。 （二）模型定价准确性验证 在选定了合适的参数后，我们需要检验蒙特卡洛模型定价的准确性。考虑到转债的市场价格可能本身存在异常状况，我们首先剔除上市时间不足一年、剩余交易日不足一年的转债；其次剔除最近6月年化收益率高于60%、正股价格与转股价格的比值小于0.4或大于2的转债。在计算转债价格时，我们输入的参数为最近6月年化收益率与波动率、赎回/下修概率为0.15，模拟次数为2500次。 从时间序列的角度，前文测算正股收益率与波动率取值时，我们已经对转债A、B、C在时间序列上的定价结果进行了测算，在2023年1月3日至2024年3月22日这一区间上三只转债的平均定价误差分别为-1.71%、-0.31%、3.83%，可见在时间序列上蒙特卡洛模型定价较为准确，误差处于合理范围内。 从截面的角度，我们分别取2023年12月29日和2024年3月15日全市场转债数据，用蒙特卡洛模型进行定价。2023年12月29日，在剔除了存续时间或正股表现异常的转债后，全市场544只转债共剩余349只转债，蒙特卡洛模型定价结果的误差如图9所示，平均相对误差为-2.40%。2024年3月15日，在剔除了存续时间或正股表现异常的转债后，全市场544只转债共剩余325只转债，蒙特卡洛模型定价结果的误差如图10所示，平均相对误差为1.85%。在两个时间截面上，模型平均定价误差较小，且大部分转债定价误差处于±10%以内，可见在截面上蒙特卡洛模型对全市场转债的定价较为准确，误差处于合理范围内。由此可知，无论从个券时序，还是全市场截面角度，蒙特卡洛转债定价模型都展示出较高的准确性。 （三）定价影响因素敏感性分析 该部分主要探究正股价格、正股收益率、正股波动率与条款执行概率对可转债定价的影响。对于其他参数的取值，我们选择市场中的某一转债D，参考其真实市场行情数据进行模拟。 （1）正股价格 本模型中，正股价格S的取值是直接依照A股市场收盘价获得的，但实际上正股价格是对转债价格影响最大的变量。固定正股收益率为5%、波动率为30%，赎回/下修概率为0.15，其他因素不变，令正股价格在转股价格80-150%的区间内变化。由下图可以看出，随着正股价格上升，转债价格呈上升趋势，变动区间为120-155，变动幅度在30%左右；Delta也呈上升趋势，在实值区间斜率放缓；Gamma先升后降，在正股价格/转股价格接近1时达到最高。 （2）正股收益率 其他参数取值不变，设置正股波动率为30%，令正股收益率在[-80%,100%]区间内取值，步长为5%。结果如图18、19、20所示，当正股收益率为负时，收益率越高、转债价格越高；当正股收益率为正时，收益率越低、转债价格越低，转债价格在正股收益率取0-5%时达到最高值。总体而言，正股收益率对转债定价结果的影响幅度在10%以内；值得注意的是，这里的“价格”是蒙特卡洛模型算出的模拟价格，而非转债的市场价格。转债价格对正股收益率的敏感性之所以呈现这样的变化，主要是由于我们在对可转债定价时进行了测度变换，将真实测度变换为到期收益率测度。 但重要性抽样仍然有存在的必要性，如果我们不做测度变化（即在计算转债价值时不乘似然比），虽然此时转债定价与正股收益率正相关，但在正股收益率较高时，转债定价也会呈现过高的异常结果，如图21所示，因此不管从理论还是实践结果而论，对可转债定价时都应当用重要性抽样法做测度变换。正股收益率对转债价格的影响仅仅是对定价结果的微调，后文中的正股波动率、赎回/下修概率也是如此；对定价结果起到决定性影响的仍然是正股价格S。 （3）正股波动率 固定正股收益率5%、赎回/下修概率0.15，其他参数取值不变，正股波动率在20-40%间取值，结果如下图所示。正股波动率越大，转债价格越高，当正股波动率在20-40%之间变动时，转债价格变动区间为125-135左右，正股波动率的变化对转债价格的影响幅度在10%以内。随着正股波动率的增大，Delta缓慢降低。 细分转债状态，改变转股价，使转债从平值状态上下浮动30%（实值程度-30%至30%）。在实值状态时Delta变化幅度较大，随正股波动率的上升Delta逐渐降低；在虚值状态时Delta变化幅度较小，随正股波动率的上升Delta平缓增加。 （4）条款执行概率：下修概率与赎回概率 在其他因素不变的情况下，预设正股收益率为0、波动率为30%；初始固定下修/赎回概率为0.5，之后分别改变赎回/下修概率，变动区间为[0,1]，间隔为0.05，蒙特卡洛模拟次数为2500次。 当正股价格在转股价格附近时，下修概率越高，转债价格越高；赎回概率越高，转债价格越低。这是因为如果发行人下修意愿较强，则每当正股股价下跌至触发下修时，发行人都很有可能向下修正转股价格，使得深度虚值期权变成平值期权，转债的转股价值提升，同时如果未来正股价格反弹，转债持有者也可获得更高收益，因此下修概率越高、转债价格越高。如果发行人赎回意愿较强，投资者预期转债存续时间较短，因此赎回概率越高、转债价格越低。 当正股价格远高于转股价格时，转债价格对赎回概率的敏感性方向会发生变化。当正股价格在转股价格附近时，如果发行人赎回意愿较强，投资者预期转债存续时间较短，因此赎回概率越高、转债价格越低。但当正股价格远大于转股价格时，假设赎回概率较高，则可转债在期初即很可能发生赎回；假设赎回概率较低，则存在未来股价下跌的风险，即转债的价格也存在下跌的风险，因此赎回概率越高、转债价格越高。 期初正股股价的高低也会影响转债价格对赎回概率/下修概率的敏感性。如果当前正股股价远高于转股价格，那么股价下跌至触发下修的可能性较低，此时转债价格对下修概率的敏感性较弱；对比S=K、S=1.5K和S=2K的结果，可发现随着正股股价的升高，转债价格对下修概率变化的敏感性在逐渐降低。同理，如果当前正股股价远低于转股价格，则股价上涨至触发赎回的可能性较低，此时转债价格对赎回概率的敏感性较弱。 基于这一特征，我们对转债的赎回/下修概率取值进行了调整。调整方法如下：当正股价格/转股价格（后文简写为S/K）处于0.8-1.3之间时，赎回/下修概率仍设置为0.15；当S/K<0.6时，赎回概率为0、下修概率为0.3；当S/K>1.6时，赎回概率为0.3，下修概率为0；剩余情况做线性插值处理。具体计算方法如表5所示。 用新的赎回/下修概率取值方法对深度虚值状态的转债A、深度实值状态的转债C重新进行验算，结果如表6所示。可以看出采用了新的取值方法后，转债A定价误差原值的平均值从-1.71%缩小至1.61%，绝对值的平均值略有增大，总体而言两种方法差别不大；转债C定价误差原值的平均值从3.81%缩小至0.08%，绝对值的平均值从4.09%缩小至2.76%，表明分段取值方法更为合理。在后文中，我们在对所有转债进行定价时，赎回/下修概率的取值均参照表6的方法进行分段取值；正股收益率与波动率仍采用最近6月的历史数据。 三、转债市场变化 （一）转债市场整体环境 当前转债市场券源丰富，5月转债成交活跃度上升。2024Q1转债市场规模整体呈现下降趋势，其中由于中信转债（113021.SH）在2024年3月29日发生转股43.26亿股，转债规模出现明显下滑；2024Q2以来转债数量和转债规模均保持平稳，截至5月24日，转债市场现存余额7908.88亿元，比年初减少7.29%；全市场共计538只转债，比年初减少3只。自2024年2月底以来，转债市场与A股市场同步回暖，转债成交金额和平均换手均呈现上升趋势，5月以来上升趋势明显加快，5月24日转债市场成交额为698.81亿元，平均换手率为52.36%。 当前偏债型转债数量最多，转债平均价格与转股溢价率近期下降。根据转股平价与纯债价值的比值，可将转债分为偏股型转债、平衡型转债与偏债型转债，在2023年平衡型转债数量最多；在经历了2024年1月A股市场下跌后，偏股型转债数量显著减少、偏债型转债数量增加，5月以来各类型转债数量占比保持稳定，截至5月24日，偏股、平衡与偏债型转债分别有53、212、273只。自2月底A股市场回暖以来，全市场加权转股溢价率整体呈现先降后升的趋势，最近一周转债平均价格与转股溢价率同降，表明当前转债配置价值有所提升。 * 偏股型转债：比值大于1.2；平衡型转债：比值在0.8和1.2之间；偏债型转债：比值小于0.8。 （二）转债行业分布与变化 金融行业转债规模大、换手率最低；材料行业转债规模第二，换手率最高。根据WIND一级行业对转债进行归类，截至2024年5月24日，金融行业转债规模居首，余额达2396.51亿元，材料行业转债规模次之，余额达1413.67亿元；此外工业与信息技术行业转债余额也超过1000亿元。工业、材料行业转债数量最多，分别为146、126只；能源、公用事业、金融行业转债数量最少，分别为9、13、21只。医疗保健、公用事业行业转债平均价格最高，分别为148.20、132.52元；材料行业换手率最高，达106.53%，金融、能源行业换手率最低，分别为1.51%、2.78%。 信息技术行业转债估值偏高，公用事业行业转债估值偏低。截至2024年5月24日，信息技术行业转股溢价率最高达115%、纯债溢价率为9%；同时，信息技术行业是转债市场中偏债型转债占比最高的行业（剔除能源、公用事业等转债数量较少的行业），偏债型转债有51只，在行业84只转债中占比60.71%。公用事业行业转股溢价率最低，为33%；纯债溢价率最高，为25%。 四、基于蒙特卡洛定价模型的转债配置策略 当前转债市场券源丰富、交易活跃度提升，有利于可转债策略的配置，而我们的定价模型在转债策略的诸多方面均可应用。一方面，在策略构建阶段，定价模型可提供诸多有效信息，例如模型定价结果可作为交易参考、定价误差可反映市场预期变化；另一方面，在组合管理阶段，我们在定价的同时可同步计算转债的Delta、Gamma等敏感性系数，用于调整仓位、对冲风险等。后文中，我们将主要展示定价误差一种可能的应用方法。 （一）定价误差改进“双低”转债策略 “双低”策略是可转债经典配置策略，我们应选择价格与转股溢价率均偏低的转债，一方面价格低使得我们能够以较低价格获取转债的美式期权价值、同时债性提供下跌保护；另一方面转股溢价率低说明正股近期可能出现上涨，依据动量效应转债未来延续涨势可能性较高。但与股票低估值策略的问题一致，转债呈现“双低”特征也可能源于公司本身质地欠佳，导致转债或正股未来上涨空间有限，难以获取超额收益。因此，我们用蒙特卡洛定价模型对“双低”策略进行改进，从“双低”转债中找出市场给予乐观预期的转债进行配置。 从前文的敏感性分析中可以看出，决定转债价格高低最重要的变量是正股价格，且正股价格是直接从A股市场收盘价取得的，可以认为取值准确；而正股收益率、正股波动率、下修概率和赎回概率对于转债定价结果的影响相对较小、主要起到“微调”的效果，但取值来自估计的结果，可能不够准确，这构成了定价误差的来源。在这4个参数中，短时间内正股波动率、下修概率和赎回概率基本保持稳定，所以我们认为定价误差主要来源于正股收益率，基于定价误差可发现市场对收益率的预期差，依此配置未来市场预期乐观的可转债，构建定价误差改进“双低”择券策略。 择券策略的构建步骤如下： 第一步，构建基础样本池并用蒙特卡洛模型进行定价。基础样本池应同时满足以下条件：1）上市时间满一年，且距到期日时间大于一年；2）正股价格/转股价格在0.4-2之间；3）最近6月年化波动率低于60%。同时，为了规避定价误差偶然性的风险，我们计算每月最后5个交易日的定价，并以5日平均定价误差作为定价误差结果。 第二步，构建“双低”策略。计算“双低”指标（可转债价格+转股溢价率×100）并从小到大排序，选择样本池中指标数值最低的前20%转债构建“双低”策略，并作为定价误差筛选的“双低”样本池。 第三步，在“双低”策略的基础上依据定价误差构建择券策略。在前文中我们已证明了转债定价结果对正股收益率的敏感性会在到期收益率附近发生方向变化，因此我们在依据定价误差做筛选时也需要分情况讨论，具体筛选标准如下： 1）剔除“双低”样本池中定价误差绝对值>20%的转债； 2）以沪深300指数代表A股市场表现，若当月沪深300收益率为正，则正股收益率整体偏高，选券时对最近6月正股收益率为负的转债应放松限制条件；同理，若当月沪深300收益率为负，则选券时对最近6月正股收益率为正的转债应放松限制条件。同时，若正股收益率小于0，则应选择定价误差为负的转债；若正股收益率大于0，则应选择定价误差为正的转债，如下图所示，这样的转债其市场期望收益率高于历史收益率，即我们所寻找的定价分歧点。具体择券标准详见表7； 3）在依据正股收益率和定价误差选出的转债中，选择定价误差绝对值最高的前20只转债，若总数不足20只则不进行递补。 （二）回测结果 我们对定价误差改进“双低”策略进行回测，回测参数设置如下： 时间区间与调仓频率：2023年6月30日至2024年4月30日，每月最后一个交易日调仓 策略基准：中证转债指数（000832.CSI） 权重调整：采用等权加权和波动率倒数加权两种方法 交易费用：双边千分之三 依据前文所述策略方法，各期基础样本池、“双低”转债与策略择券数量分布如下图所示。 采用等权法对择券结果进行配置，结果如下图所示。从2023年6月30日至2024年4月30日，定价误差改进“双低”策略年化收益为5.24%，相比基准中证转债指数实现超额收益8.61%，相比基础样本池实现超额收益11.93%，相比“双低”策略实现超额收益4.75%；Sharpe比率和Calmar比率分别为0.5436、0.5590；最大回撤为-9.38%，相比基准和“双低”策略最大回撤均有所缩窄。 采用正股波动率加权法对择券结果进行配置，结果如下图所示。从2023年6月30日至2024年4月30日，定价误差改进“双低”策略年化收益为4.57%，相比基准中证转债指数实现超额收益7.94%，相比基础样本池实现超额收益9.58%，相比“双低”策略实现超额收益3.18%；Sharpe比率和Calmar比率分别为0.5204、0.5154；最大回撤为-8.86%，相比基准和“双低”策略最大回撤均有所缩窄。两种配置方法均回测结果表明策略有效，无论是相比中证转债指数还是相比“双低”策略本身均可获得稳健的超额收益。 五、结论与改进 本报告中，我们对可转债定价的理论假设重新进行了梳理，证明了可转债的定价应当在到期收益率测度下折现，并通过重要性抽样法实现了从真实测度至到期收益率测度的变换，同时实现了提高模拟效率、缩小定价误差的效果；另外，我们也采用了最小二乘蒙特卡洛法计算转债的存续价值，解决了期权的最优停时问题，并将整个定价代码的数据结构从ndarray数组置换为Tensor，有效提高了定价程序的运行效率与计算精度。在完成定价模型的构建后，我们又深入讨论了模型参数的取值问题，根据测算结果，我们选择最近6月年化收益率的21天滚动均值、最近6月年化波动率作为正股收益率与波动率的取值，赎回/下修概率则依据正股价格/转股价格的比值在0-0.3之间分段取值。最后在策略构建部分我们展示了定价模型的一个可能的应用方向，通过定价误差发现市场预期收益与历史收益的分歧点，配置市场预期更乐观的转债，回测结果证明定价误差改进“双低”策略可获得稳健的超额收益。 值得承认的是，我们的模型仍然有很多可改进的空间。例如，除正股股价与转股价格的比值以外，影响赎回/下修概率的因素还有很多，如转债是否内嵌回售条款、是否进入回售期、转债当前未转股比例等，在报告《转债新规下的定价模型更新和绝对收益策略改进》中也对此有所论述。以回售条款为例，一般而言触发回售的股价低于触发下修的股价，如果当前正股股价已经触发了下修条款，股价进一步下跌触发回售的可能性较高，一旦触发回售条款、而投资者选择执行回售，对于发行人而言资金偿付压力较大，因此当转债进入回售期或临近回售期时，发行人下修的意愿会增强。我们未来可建立合理的模型对赎回概率、下修概率等参数做出更精细的估计，使定价模型更贴合市场真实情况。 此外，在应用与实践上，本报告构建的策略仅仅是蒙特卡洛模型一个可能的应用方向，定价模型还可以广泛应用在新债上市定价、个券交易、组合管理等方面， 例如计算转债的Delta和Gamma对组合做风险对冲。未来我们会进一步探索转债定价模型的应用方向，并以有效实例验证蒙特卡洛模型定价的可靠性。 风险提示 报告结论基于历史价格信息和统计规律，但二级市场受各种即时性政策影响易出现统计规律之外的走势，所以报告结论有可能无法正确预测市场发展，报告阅读者需审慎参考报告结论。证券历史收益不代表未来业绩表现，文中观点仅供参考，不构成投资建议。 如需获取报告全文，请联系您的客户经理，谢谢！ 本文摘自：中国银河证券2024年6月2日发布的研究报告《【银河金工】转债蒙特卡洛定价的改进及应用：测度变换与张量计算》 分析师：马普凡 研究助理：刘璐 评级标准： 评级标准为报告发布日后的6到12个月行业指数（或公司股价）相对市场表现，其中：A股市场以沪深300指数为基准，新三板市场以三板成指（针对协议转让标的）或三板做市指数（针对做市转让标的）为基准，北交所市场以北证50指数为基准，香港市场以摩根士丹利中国指数为基准。 行业评级 推荐：相对基准指数涨幅10%以上。 中性：相对基准指数涨幅在-5%～10%之间。 回避：相对基准指数跌幅5%以上。 公司评级 推荐：相对基准指数涨幅20%以上。 谨慎推荐：相对基准指数涨幅在5%～20%之间。 中性：相对基准指数涨幅在-5%～5%之间。 回避：相对基准指数跌幅5%以上。 法律申明： 本公众订阅号为中国银河证券股份有限公司（以下简称“银河证券”）研究院依法设立、运营的两个研究官方订阅号之一（另一为“中国银河宏观”）。其他机构或个人在微信平台以中国银河证券股份有限公司研究院名义注册的，或含有“银河研究”，或含有与银河研究品牌名称等相关信息的其他订阅号均不是银河研究官方订阅号。 本订阅号不是银河证券研究报告的发布平台，本订阅号所载内容均来自于银河证券研究院已正式发布的研究报告，本订阅号所摘录的研究报告内容经相关流程及微信信息发布审核等环节后在本订阅号内转载，本订阅号不承诺在第一时间转载相关内容，如需了解详细、完整的证券研究信息，请参见银河证券研究院发布的完整报告，任何研究观点以银河证券发布的完整报告为准。 本订阅号旨在交流证券研究经验。本订阅号所载的全部内容只提供给订阅人做参考之用，订阅人须自行确认自己具备理解证券研究报告的专业能力，保持自身的独立判断，不应认为本订阅号的内容可以取代自己的独立判断。在任何情况下本订阅号并不构成对订阅人的投资建议，并非作为买卖、认购证券或其它金融工具的邀请或保证，银河证券不对任何人因使用本订阅号发布的任何内容所产生的任何直接或间接损失或与此有关的其他损失承担任何责任，订阅号所提及的任何证券均可能含有重大的风险，订阅人需自行承担依据订阅号发布的任何内容进行投资决策可能产生的一切风险。 本订阅号所载内容仅代表银河证券研究院在相关证券研究报告发布当日的判断，相关的分析结果及预测结论，会根据银河证券研究院后续发布的证券研究报告，在不发出预先通知的情况下做出更改，敬请订阅者密切关注后续研究报告的最新相关结论。 本订阅号所转发的研究报告，均只代表银河证券研究院的观点。本订阅号不保证银河证券其他业务部门或附属机构给出与本微信公众号所发布研报结论不同甚至相反的投资意见，敬请订阅者留意。 《证券期货投资者适当性管理办法》于2017年7月1日起正式实施，通过微信订阅号发布的本图文消息仅面向银河证券客户中的机构专业投资者，请勿对本图文消息进行任何形式的转发。若您并非银河证券客户中的机构专业投资者，为保证服务质量、控制投资风险，请取消关注，请勿订阅、接收或使用本订阅号中的任何信息。 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