【国君金工】基于分布函数的两种非对称性测度——学界纵横系列之四十四

（以下内容从国泰君安《【国君金工】基于分布函数的两种非对称性测度——学界纵横系列之四十四》研报附件原文摘录）
　　点击上方“Allin君行” ，关注我们 陈奥林 从业证书编号 S0880516100001 张烨垲 从业证书编号 S0880121070118 摘要 偏度对股票回报非对称性的测量效果有限，且与股票未来期望收益的关系不确定。而在资产定价过程中，股票收益率分布非对称性对结果有重要影响，因此我们需要更有效的非对称性测度。 《Stock return asymmetry: beyond skewness》提出了两种新的基于股票回报概率分布函数的非对称测度，用于度量股票回报的非对称性以及解释高上行非对称性与低股票预期回报率的相关性。第一种是计算收益上行概率和下行概率的差值，第二种是第一种方法的熵形式，利用了收益的整个分布函数计算左侧和右侧概率密度的绝对差异。 新测度方法对非对称性的检验有效性更高：可以在每一个点比较上行与下行概率分布，因此新的测度方法可以检验出传统的偏度测度忽略的高阶非对称性，对于模拟数据、按照市值划分的投资组合、个股数据均可得到一致的结果。 新测度方法可以更好地刻画非对称性与股票未来收益的关系：通过回归模型的显著性可以发现，高偏度对股票预期收益的影响不确定，而通过文章提出的新测度测量的高上行非对称性与股票低预期回报率紧密相关。 新测度方法更稳健：偏度对波动率、投资者情绪、市场流动性以及资本利得突出量等因素的变化十分敏感，相反地新的两种度量方法效果稳定，基本不受以上众多因素的影响。 01 文章背景 传统的定价模型基于收益率呈正态分布的假设，然而正态分布假设有很大的局限性：实证研究中存在信息不对称、市场交易机制不完善、监管不到位等现象，导致股票收益率分布不对称，因此我们需要有效刻画股票收益非对称性的方法。 偏度是常用的刻画股票回报分布非对称性的度量方法，然而这种仅基于三阶矩的传统方法难以准确度量股票的非对称性，且与股票回报的关系是不确定的：Arditti（1971）等研究发现高偏度往往与低预期回报率相关，而Xing等（2010）在研究中得出了相反的结论，Bali等（2011）也进一步证实偏度对预期回报率的影响并不显著。 02 核心结论 本篇报告推荐的文章《Stock return asymmetry: beyond skewness》以股票回报的分布函数为基础，提出了两种新的非对称性测度，用于度量股票非对称性和解释上行不对称与预期回报率之间的关系。第一种是计算收益上行概率和下行概率的差值，第二种是第一种方法的熵形式，利用了收益的整个分布函数计算左侧和右侧概率密度的绝对差异。这两种非对称性测度既可以更有效地检验股票回报分布的非对称性，又可以稳健地解释截面上股票高上行非对称性与低预期回报率的关系——对于一些偏度为0的分布，本文的新方法可以刻画出更高阶的非对称性，从而可以提供比偏度更多的信息。 03 文章模型 3.1.第一种非对称性测度 第一种度量方法通过计算收益上行概率和下行概率的差值来刻画股票收益分布的非对称性，这里的上行概率和下行概率并非股票涨跌的概率，而是上涨或下跌超过某一阈值的概率之差。文章使用超额尾部概率（ETP）来表示分布非对称性，即上行超过一倍标准差与下行超过一倍标准差的概率之差： 其中x是剔除市场风险后的股票收益残差，并对其进行均值为0方差为1的标准化。当IE_φ为正时，为上行不对称，即该股票获得大额收益的概率高于遭受大额损失的概率；当IE_φ为负时则相反。 投资者更愿意投资收益概率高于损失概率的股票，因此直观地讲，当股票获得大额收益概率高于遭受大额损失概率时，股票价格会提高，预期回报降低，即IE_φ越大，上行非对称性越高，预期股票收益率越低。 3.2.第二种非对称性测度 第二种度量方法是第一种方法的熵形式。假设收益随机变量X的期望值为μ，概率密度函数为f(x)，我们定义X关于均值对称的变量X ？=-X+2μ，密度函数为f(x ？ )。通过计算两个密度函数的差值来度量序列的非对称性： 不难看出，当分布完全对称时，IS_ρ=0；分布非对称性越大，IS_ρ越大；同时，由三角不等式可以看出，IS_ρ取值始终在0和1之间，因此可以方便地对不同资产以及不同时期的收益非对称性进行比较。 由于IS_ρ恒非负，无法区分上行不对称和下行不对称，于是文章对IS_ρ进行调整： 从两种方法的定义中我们可以看到，第一种方法是一种较粗略的方法，只使用了分布函数的部分信息，而第二种方法利用了整个分布函数的信息，可以更全面精确地刻画分布的非对称性。尽管如此，两种方法本质都是对非对称性的刻画，具有很强的相关性，IS_φ越大，IE_φ越大。 3.3.估算 第一种度量方法只用到了累计分布函数在正负一倍标准差的取值，因此可以直接用经验分布函数对其进行计算。而第二种度量方法依赖收益的分布函数，文章使用Parzen-Rosenblatt核密度方法对收益的分布函数进行估计： 其中n为时间序列样本{X_t}_(t=1)^T上的样本数；k(？)是一个非负有界核函数，例如正态密度；h是带宽参数，最佳带宽参数可以通过Kullback-Leibler似然函数交叉验证方法得到。 04 使用不同方法检验收益对称性 文章比较了偏度和新测度方法在三个场景（模拟数据、按市值划分的投资组合、美股个股日收益率数据）中检验股票回报分布非对称性的能力。结果显示，新测度方法对非对称性的检验能力更优。 传统的检验方法将分布的正态性作为零假设，因此在检验中可能会拒绝一些对称但非正态的分布。为了更好地检验非对称性，文章使用重抽样方法进行检验，这种方法不依赖于对标的资产收益分布的假设：将t ？_SKEW=(SKEW) ？/σ ？_SKEW作为偏度的t统计量，其中(SKEW) ？表示样本偏度，σ ？_SKEW是Racine（1997）提出的重采样法计算得到的标准差；将“概率分布具有对称性”作为零假设。 4.1.模拟数据 文章采用Racine等（2007）的bootstrap重采样法，从正态分布N(120,240)、卡方分布？^2 (10)和Beta(1,3.7)-Beta(1.3,2.3)分布中模拟出399组样本数据。 结果表明，偏度和新度量方法都未拒绝正态分布N(120,240)的零假设，并都在5%的显著水平下拒绝了卡方分布X^2 (10)的零假设；但是偏度没有拒绝Beta(1,3.7)-Beta(1.3,2.3)分布的零假设，而新测度在1%的显著水平下拒绝了该零假设。 事实上，Beta(1,3.7)和Beta(2,12.42)具有几乎相同的偏度，但非对称性水平不同，如图1所示，因此当两种概率分布偏度相同、非对称性程度不同时，需要用文章提出的新度量方法来检验非对称性的差异，文章提出的新方法可以刻画出偏度之外的高阶非对称性。 这个例子体现出了新方法的优越性：我们可以非常容易地举出偏度相同但非对称性不同的例子，但不存在非对称性相同但偏度不同的例子，因为文章中计算非对称性的方法可以在每一个点比较上行与下行概率分布，因此该方法有效性更高。 4.2.按市值划分的投资组合 文章使用根据公司市值大小构建的投资组合的真实数据。之所以按照市值划分投资组合是因为研究发现小市值股票往往收益的非对称性更高。如图2所示，我们按照市值将整个股票池划分成了10个投资组合，在等权重的投资组合中，IS_ρ在5%的显著水平下检测到3个投资组合的非对称性，而偏度只检测到1个；在非等权重的投资组合中，IS_ρ在10%的显著水平下检测到3个投资组合的非对称性，而偏度只检测到2个。由此可以看出，新检测方法可以检测出更多的非对称性特征。 4.3.美股个股日收益率数据 文章使用1963年1月至2015年12月的159356支美股个股日收益率数据对偏度和新度量进行检验。结果显示，在5%的显著性水平下，偏度度量法检测到17838个观测样本的非对称性（11.19%），而IS_ρ检测到29348个观测样本的非对称性（18.42%）（这里是将一只股票一年的日度收益数据作为一个观测样本）。而且使用新检测方法检测出的具有显著非对称性的股票具有更强的“彩票”属性，这些股票有更高的最大日收益、更低的股价、更高的个体波动率、更高的个体偏度以及更高的换手率。 由此可见，不论是模拟数据还是真实数据，文章提出的新度量方法都可以比偏度更有效地检验股票回报分布的非对称性。 05 实证研究：非对称性与股票收益 5.1.数据 文章使用1963年8月至2015年12月在纽约证券交易所、美国证券交易所和纳斯达克交易所上市的剔除月初价格低于$5后的普通股数据。 5.2.非对称性与公司特征 文章分别实证研究ISKEW、IE_φ、IS_φ与市值因子（SIZE）、账面市值比（BM）、动量因子（MOM）、换手率（TURN）、非流动性因子（ILLQ）、市场贝塔（β）之间的关系。对以上公司特征构建Fama-Macbeth回归： 其中IA_(i,t)为i公司在t月的ISKEW、IE_φ、IS_φ值，X_(i,t)为各因子数值，B_t表征 ISKEW、IE_φ、IS_φ与这些因子的相关性。 图3可以看出，ISKEW与市值因子、账面市值比、换手率负相关，与动量因子、非流动性因子和市场贝塔正相关；除换手率外，IE_φ和IS_φ与因子的相关性与ISKEW的方向相同。 5.3.非对称性与预期回报率 文章实证检验了新度量方法预测股票横截面未来收益的能力并与偏度进行比较。具体来看，在公司层面构建Fama-Macbeth回归： 其中R_(i,t+1)是t+1月股票的超额收益率，IA_(i,t)是t月i公司的IE_φ或IS_φ值，X_(i,t)是t月的市值因子（SIZE）、账面数值比（BM）、动量因子（MOM）、换手率（TURN）、短期反转因子（ILLIQ）、特质波动率（IVOL）、协偏度（COSKEW）以及协峰度（COKURT）值。 回归模型结果如图4所示。当IE_φ、IS_φ单独回归时，系数为负且在1%的水平下显著，有效解释股票收益上行不对称与预期回报负相关的理论；而当ISKEW单独回归时，系数略大于零且在统计上不显著。为检验结果的稳健性，作者加入了控制变量，图4中8-14列用Fama-French三因子进行风险调整后的收益率代替原超额收益率，调整后IE_φ、IS_φ的系数仍然在1%的水平下显著为负，ISKEW系数仍然为正且统计上不显著。 由此得出，高偏度对股票预期收益的影响不确定，而通过文章提出的新测度测量的高上行非对称性与股票低预期回报率紧密相关。 5.4.非对称投资组合 文章按照ISKEW、IE_φ、IS_φ值将所有股票按从小到大的顺序分为10组，并计算得到每组的超额收益率、CAPM Alpha、FF3 Alpha的均值，结果如图5所示。 由图中结果得到，当按照ISKEW进行排序时，超额收益率并不随着ISKEW的增大而增大或减小，且最大组合和最小组合的差值并不显著；而当按照IE_φ、IS_φ进行排序时，超额收益单调递减且最大组合和最小组合的差值显著。结果再次证明高偏度与低预期回报率之间并无必然关系，而新度量方法捕捉到的高上行非对称性往往可以带来低预期回报率。 5.5.稳定性检验 文章对偏度和新度量方法检测到的结果分别进行稳定性检验，判断其是否受到尾部风险、极端收益、财务困境、波动性、投资者情绪、市场流动性以及资本利得突出量的影响。 实证结果表明，偏度对波动率、投资者情绪、市场流动性以及资本利得突出量等因素的变化十分敏感；相反地，新的两种度量方法效果稳定，基本不受以上众多因素的影响。 06 总结讨论 文章基于股票回报分布函数提出了两种新的度量收益分布非对称性的测度方法，并证明了这两种度量方法相较于偏度可以更有效地检测分布中的非对称性。实证表明，偏度对股票收益的影响是不确定的，而相比之下，新的非对称性测度可以更有效地解释高上行非对称性与低预期股票收益率之间的关系。在稳定性检验中，新的非对称测度得出的结果基本不受其他因素的影响。因此新的度量方法可以代替偏度来测量股票回报分布的非对称性，并运用在资产定价等场景中，帮助预测未来股票回报率等。 详细报告请查看20220720发布的国泰君安金融工程专题报告《基于分布函数的两种非对称性测度——学界纵横系列之四十四》 法律声明： 本订阅号不是国泰君安证券研究报告发布平台。本订阅号所载内容均来自于国泰君安证券研究所已正式发布的研究报告，如需了解详细的证券研究信息，请具体参见国泰君安证券研究所发布的完整报告。本订阅号推送的信息仅限完整报告发布当日有效，发布日后推送的信息受限于相关因素的更新而不再准确或者失效的，本订阅号不承担更新推送信息或另行通知义务，后续更新信息以国泰君安证券研究所正式发布的研究报告为准。 根据《证券期货投资者适当性管理办法》，本订阅号所载内容仅面向国泰君安证券客户中的专业投资者。因本资料暂时无法设置访问限制，若您并非国泰君安证券客户中的专业投资者，为控制投资风险，还请取消关注，请勿订阅、接收或使用本订阅号中的任何信息。如有不便，敬请谅解。 市场有风险，投资需谨慎。在任何情况下，本订阅号中信息或所表述的意见均不构成对任何人的投资建议。在决定投资前，如有需要，投资者务必向专业人士咨询并谨慎决策。国泰君安证券及本订阅号运营团队不对任何人因使用本订阅号所载任何内容所引致的任何损失负任何责任。 本订阅号所载内容版权仅为国泰君安证券所有。订阅人对本订阅号发布的所有内容(包括文字、影像等)进行复制、转载的，需明确注明出处，且不得对本订阅号所载内容进行任何有悖原意的引用、删节和修改。

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